מרתה ווגט נולדה בברלין להורים שהיו חלוצים בחקר המבנה של מערכת העצבים. היא קיבלה דיפלומה ברפואה וגם דוקטורט בכימיה. ב-1930 היא החלה לעבוד במחלקה לרוקחות באוניברסיטת ברלין ושנה לאחר מכן, התמנתה לראש המחלקה בכימיה במכון על שמו של קיסר וילהלם. ב-1933, למרות שלא הייתה יהודיה, החליטה ווגט לעבור לאנגליה, לא מכיוון שנאלצה לעשות זאת אלא מכיוון שתיעבה את הנאציזם. (אחד האתרים המוקדש לווגט מתאר אותה כשייכת לדור הייחודי של מדענים גרמניים שניתן לכנותם בשם "מתנתו של היטלר" לעולם הדמוקרטי).

ב-1935 עברה ווגט לאנגליה, למכון הלאומי למחקר רפואי ( National Institute for Medical Research ) בירכתי לונדון, שם המשיכה במחקרים העוסקים בנוירולוגיה. היא פרסמה מאמר המתאר את תפקידו של אצטילכולין acetylcholine  שהוא מוליך עצבי של המערכת המוטורית ו -מערכת העצבים הפאראסימפתטית בגוף האדם. בשלב מאוחר יותר עברה ווגט לחקור את ה -סרוטנין (serotonin) ובכך נפתחה הדרך לשורה ארוכה של תרופות נגד דכאון.